Nature de l'algèbre.

L'algèbre a connu deux tendances successives : l'époque classique, puis celle dite « moderne ». L'algèbre classique trouve son origine dans une généralisation de l'arithmétique. Consacrée à la résolution des équations algébriques, elle s'attache à l'étude des opérations et de leurs propriétés. Grâce à la géométrie, elle continuera à s'abstraire de l'aspect numérique avec l'étude de nouveaux objets mathématiques appelés vecteurs (notion d'espace vectoriel). L'algèbre moderne se constitue avec la recherche des structures qui permettent de se dégager des cas particuliers et de résoudre les grandes familles de problèmes. Il devient ainsi possible de construire l'algèbre à partir d'un petit nombre de propriétés, transportables à l'intérieur d'une même structure, sans qu'il soit besoin de les redémontrer.

De l'Antiquité aux Arabes.

Les Babyloniens, dès le II^e millénaire av. J.-C., résolvent, par application systématique d'un art combinatoire consommé, des problèmes conduisant à des équations du 1^er et du 2^e degré, à une ou à plusieurs inconnues. À Alexandrie, capitale de la civilisation hellénistique, le mathématicien Diophante s'inspire directement des méthodes babyloniennes pour développer les règles du calcul abstrait. Les Arabes reprennent les travaux des Grecs et des Indiens et les prolongent : les résultats les plus remarquables se rapportent aux équations du 3^e degré et, en partie, à celles du 4^e degré, résolues à l'aide de transformations géométriques de figures. Le savant arabe al-Kharezmi est l'auteur, au IX^e s., du premier traité mentionnant le terme d'algèbre (al-djabr). L'opération ainsi désignée consiste dans le transport de termes qui sont à soustraire dans l'un des membres de l'équation sous la forme de termes à additionner dans l'autre membre.

L'algèbre en Europe.

L'Occident médiéval reprend à son tour les résultats antérieurs qui lui sont transmis par les Arabes. Au début du XVI^e s., les algébristes italiens résolvent « par radicaux » les équations du 3^e et du 4^e degré, c'est-à-dire avec des solutions numériques ; ils utilisent pour la première fois les racines carrées de nombres négatifs. L'objet de l'algèbre reste, tout au long des XVII^e et XVIII^e s., celui défini par les mathématiciens arabes : c'est la recherche du nombre ou de la quantité inconnue, mise en relation avec d'autres nombres ou quantités connues, sous la forme d'équations. La substitution de lettres aux valeurs numériques, ou symbolisme algébrique, se développe au XVII^e s., grâce aux travaux de François Viète, soucieux de traduire, à l'aide de symboles représentant les grandeurs tant géométriques qu'arithmétiques, le double héritage hellénistique et arabe. Descartes perfectionne le système de notation et crée la géométrie analytique. Au XIX^e s. se développe l'étude des structures algébriques, telle la structure de groupe, où des ensembles sont considérés en fonction des lois de composition définies sur eux. Cette recherche se poursuit par l'étude approfondie des structures algébriques et par l'application de ces structures dans d'autres domaines des mathématiques (géométrie, etc.).