Les entiers.

Les nombres entiers forment une échelle commençant par un point de départ, le 0 (zéro) dans les systèmes usuels, et se poursuivant indéfiniment. Cette échelle numérique joue, en fait, un double rôle, celui d'indiquer un ordre : premier, deuxième, troisième..., et celui de donner une indication de grandeur : un, deux, trois... À cette dernière fonction, dite « cardinale », est liée celle d'opération (addition et multiplication). La somme et le produit de deux entiers sont encore des entiers. Pour ces deux opérations, on peut définir des opérations réciproques (ou inverses), qui sont la soustraction et la division. Toutefois, dans l'ensemble des nombres entiers, ces dernières ne sont pas toujours possibles. On peut calculer 7 − 5 mais non 5 − 7 ; de même, on peut diviser 12 par 4 mais non par 5. Pour surmonter cette difficulté, on a étendu l'ensemble des nombres, de manière à rendre les calculs toujours réalisables, en inventant successivement les nombres relatifs et les nombres rationnels.

Les relatifs.

Pour donner un sens à une soustraction comme 5 − 7, impossible pour les entiers, on prolonge ceux-ci par une suite symétrique par rapport à 0 ; cette suite est formée des mêmes nombres précédés du signe moins et inscrits dans un ordre inverse. L'ensemble des deux suites s'écrit alors (... − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4...). Ce nouvel ensemble des entiers relatifs s'étend indéfiniment dans les deux sens et il est formé de deux parties, les nombres négatifs, précédés du signe moins, et les nombres positifs. On appelle valeur absolue d'un nombre relatif le nombre lui-même, abstraction faite de son signe. L'ensemble des nombres relatifs constitue une extension de l'ensemble des entiers dans laquelle les soustractions sont possibles sans restriction.

Les rationnels.

Une division de A par B n'est possible, avec les entiers, que si A est un multiple de B. Quand ce n'est pas le cas, la méthode d'extension, qui a servi pour les soustractions, amène à poser ce quotient comme une entité nouvelle définie précisément par la division : le quotient de 2 par 3, par exemple, est un rationnel α. Pour que cette définition soit pleinement opératoire, il faut indiquer quels sont les critères d'égalité entre ces nouveaux nombres et comment on peut effectuer des opérations avec eux. La représentation de ces nombres se fait de deux façons : soit sous la forme de fraction (α s'écrit alors 2/3), soit sous la forme décimale (α est alors 0,666...).

On a précédemment construit une suite de trois ensembles emboîtés, celui des entiers ℕ, son extension aux relatifs ℤ et, enfin, l'extension de ce dernier aux rationnels ℚ. Avec ℚ est réalisée la clôture algébrique de l'ensemble des entiers par rapport aux quatre opérations qui y sont naturellement définies. En effet, l'ensemble des nombres rationnels est le plus petit ensemble contenant les entiers et dans lequel toutes les opérations définies sur ℕ ainsi que leurs inverses sont possibles sans aucune restriction.

Les réels.

Dès l'Antiquité grecque, on a découvert que certaines grandeurs issues de constructions géométriques (par exemple ou π) échappent à toute détermination exacte : ce sont les nombres irrationnels. Parmi ceux-ci, certains, dits nombres algébriques, peuvent être décrits comme solutions d'une équation algébrique à coefficients rationnels ; d'autres, dits nombres transcendants (tel π), ne sont solution d'aucune équation à coefficients rationnels. L'ensemble ℝ des nombres réels est ainsi formé par tous les nombres rationnels et irrationnels.

Les complexes.

Dans l'ensemble ainsi constitué, il reste cependant une opération impossible : le calcul de la racine carrée d'un nombre négatif. Pour dépasser cette impossibilité, on est amené à construire des nombres, dits imaginaires, tels que le nombre i, vérifiant par définition la relation : i² = − 1. On étend donc ainsi les nombres réels en les plongeant dans un ensemble plus vaste dans lequel on peut extraire les racines de n'importe quel nombre positif ou négatif. L'ensemble ℂ ainsi obtenu est celui des nombres complexes.