Les diverses branches des mathématiques qui constituent l'analyse moderne (fonctions analytiques, fonctions elliptiques, séries infinies, calcul des variations, équations différentielles et aux dérivées partielles, géométrie différentielle, mesure et intégration, analyse fonctionnelle, topologie) sont toutes issues d'un tronc commun : le calcul infinitésimal, création du XVII^e s.

Les origines de l'analyse.

On trouve des traces, dès l'Antiquité, de notions intuitives de continuité et de limite chez les Grecs. Avec Pythagore, on prend conscience de l'existence de grandeurs irrationnelles justifiant les techniques d'approximation. Avec Euclide et surtout Archimède, les géomètres grecs adoptent des méthodes de calcul par approximations de plus en plus précises pour l'étude des volumes (pyramide, sphère) ou des aires (problème de la quadrature du cercle, calcul de l'aire d'une portion de parabole). D'autre part, ils précisent la notion de droite tangente à une courbe. Ainsi apparaissent les premiers exemples de calcul intégral (aires et volumes) et de calcul différentiel (tangentes).

L'analyse au XVII^e s.

En 1635, Cavalieri (1598-1647) crée sa géométrie des indivisibles, qui veut systématiser et promouvoir les techniques d'Archimède. Les idées plus classiques de Pierre de Fermat s'imposent et font de lui un précurseur de l'analyse. À la fin du XVII^e s., avec Newton et Leibniz, apparaissent véritablement le calcul différentiel et le calcul intégral, en même temps que se précise la notion de fonction, destinée à jouer un rôle fondamental aux XVIII^e et XIX^e s. Des techniques nouvelles apparaissent : calcul des séries entières, fonctions exponentielles, fonctions circulaires directes et inverses, logarithmes.

L'analyse moderne.

Le problème des cordes vibrantes passionne les esprits de la génération de Lagrange, de Daniel Bernoulli et d'Euler. Au début du XIX^e s., il amène Fourier au calcul des séries trigonométriques. Les besoins de rigueur qui se manifestent alors vont conduire les mathématiciens, à la suite de Gauss, et surtout d'Abel et de Cauchy, à admettre qu'une série n'a de sens que si l'on a établi sa convergence. Cauchy, suivi par Weierstrass et par d'autres mathématiciens, étudie les fonctions de la variable complexe. Au XX^e s., cette théorie sera généralisée aux fonctions de plusieurs variables. Cauchy précise aussi la notion d'intégrale en s'inspirant des conceptions archimédiennes. Riemann étend à d'autres fonctions de la variable réelle cette notion que généralisera Henri Lebesgue. Enfin, l'étude des équations différentielles, qui débute avec Leibniz, et celle des équations aux dérivées partielles, qui remonte à d'Alembert ainsi qu'à ceux qui étudièrent le problème des cordes vibrantes, fournissent un important sujet de recherches.