Il a conçu avec Dedekind toutes les idées de la théorie des ensembles. Étudiant la notion d'infini, il a imaginé, en 1879, les nombres transfinis puis découvert les notions de puissance du dénombrable (correspondant à l'« infinité » des nombres entiers), et de puissance du continu (correspondant à l'infinité des points d'un segment de droite).
